1. Was ist eine Funktion?

Stell dir vor, du kaufst Äpfel. Jeder Apfel kostet 0,50 €. Wie viel zahlst du für 3 Äpfel? Für 5? Für 10? Es gibt immer genau eine Antwort — das ist der Kern einer Funktion.

Eine Funktion ordnet jedem Eingabewert $x$ genau einen Ausgabewert $y$ zu. Wir schreiben dafür $y = f (x)$ .

Definition

Eine Funktion $f$ ist eine Zuordnung, die jedem Element $x$ aus dem Definitionsbereich genau ein Element $y = f (x)$ aus dem Wertebereich zuordnet.

Beim Apfelbeispiel ist die Funktion $f (x) = 0, 5 \cdot x$ . Für 3 Äpfel: $f (3) = 0, 5 \cdot 3 = 1, 50 €$ .

2. Von der Proportionalität zur linearen Funktion

Beim Äpfelkaufen war der Preis direkt proportional zur Anzahl — kein Grundpreis. Aber was, wenn das Taxi einen Grundpreis hat?

Ein Taxi kostet 3 € Grundgebühr plus 1,50 € pro Kilometer. Für $x$ Kilometer zahlst du:

y = 1, 5 \cdot x + 3

Das ist bereits eine lineare Funktion! Der Zusatz „+ 3" verschiebt den Graphen nach oben — das Taxi kostet schon beim Start etwas.

Merke

Proportionale Funktionen ( $y = m x$ ) sind ein Sonderfall der linearen Funktionen mit $b = 0$ . Ihr Graph geht immer durch den Ursprung.

3. Die Gleichung $y = m x + b$

Jede lineare Funktion lässt sich in der sogenannten Normalform schreiben:

y = m x + b

Die beiden Parameter haben ganz konkrete Bedeutungen:

Steigung $m$

Die Steigung gibt an, wie stark der Graph ansteigt oder fällt. Steigt $x$ um 1, ändert sich $y$ um $m$ .

$m > 0$ : Graph steigt
$m < 0$ : Graph fällt
$m = 0$ : Graph ist waagerecht

y-Achsenabschnitt $b$

Der y-Achsenabschnitt gibt an, wo der Graph die y-Achse schneidet — also den Wert $f (0)$ .

Beim Taxi: $b = 3$ — schon beim Start (0 km) zahlt man 3 €.

4. Graphen zeichnen und lesen

Verändere Steigung und y-Achsenabschnitt mit den Reglern und beobachte, wie sich der Graph verändert.

Aktuelle Funktion:

f (x) = x

Steigung

m

1.0

y-Abschnitt

b

0.0

Tipp: Schiebe m auf einen negativen Wert — der Graph fällt dann von links nach rechts. Bei $b = 0$ geht die Gerade durch den Ursprung (proportional).

5. Steigung berechnen

Du kannst die Steigung $m$ aus zwei beliebigen Punkten $P_{1} (x_{1} ∣ y_{1})$ und $P_{2} (x_{2} ∣ y_{2})$ des Graphen berechnen.

Steigungsformel (Differenzenquotient)

m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} = \frac{Δ y}{Δ x}

Geometrisch bilden die beiden Punkte und die Achsen ein Steigungsdreieck: $Δ x$ ist die horizontale Seite (Lauf) und $Δ y$ die vertikale Seite (Steig).

Beispiel

Gegeben: $P_{1} (1∣2)$ und $P_{2} (4∣8)$ .

$m = \frac{8 - 2}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$

Der Graph steigt um 2, wenn $x$ um 1 wächst.

6. Funktionsgleichung aufstellen

Wenn du zwei Punkte kennst, kannst du die vollständige Gleichung $y = m x + b$ bestimmen.

Steigung berechnen: $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$
b bestimmen: Einen Punkt einsetzen und nach $b$ umformen.
$b = y_{1} - m \cdot x_{1}$
Gleichung aufschreiben: $f (x) = m x + b$

Punkt-Steigungsform

Alternativ kannst du direkt die Punkt-Steigungsform verwenden:

y - y_{1} = m \cdot (x - x_{1})

Diese Form ist besonders praktisch, wenn du einen Punkt und die Steigung kennst.

Beispiel

Punkte: $A (2∣5)$ und $B (6∣13)$ .

1. $m = \frac{13 - 5}{6 - 2} = \frac{8}{4} = 2$

2. $b = 5 - 2 \cdot 2 = 5 - 4 = 1$

3. $f (x) = 2 x + 1$

7. Nullstellen

Die Nullstelle einer Funktion ist der $x$ -Wert, bei dem $f (x) = 0$ gilt — also wo der Graph die x-Achse schneidet.

Um die Nullstelle zu finden, setzt du $y = 0$ und löst nach $x$ auf:

0 = m x + b \Rightarrow x = - \frac{b}{m}

Beispiel

Nullstelle von $f (x) = 2 x - 4$ :

$0 = 2 x - 4 ∣ + 4$

$4 = 2 x ∣ : 2$

$x = 2$

Der Graph schneidet die x-Achse bei $x = 2$ .

Das Lösen dieser Gleichung ist ein Thema für sich — mehr dazu bei Lineare Gleichungen (demnächst verfügbar).

1. Was ist eine Funktion?

2. Von der Proportionalität zur linearen Funktion

3. Die Gleichung y=mx+b

4. Graphen zeichnen und lesen

5. Steigung berechnen

6. Funktionsgleichung aufstellen

7. Nullstellen

3. Die Gleichung $y = m x + b$