1. Was ist eine Funktion?

Stell dir vor, du kaufst Äpfel. Jeder Apfel kostet 0,50 €. Wie viel zahlst du für 3 Äpfel? Für 5? Für 10? Es gibt immer genau eine Antwort — das ist der Kern einer Funktion.

Eine Funktion ordnet jedem Eingabewert $x$ genau einen Ausgabewert $y$ zu. Wir schreiben dafür $y = f(x)$ .

Definition

Eine Funktion $f$ ist eine Zuordnung, die jedem Element $x$ aus dem Definitionsbereich genau ein Element $y = f(x)$ aus dem Wertebereich zuordnet.

Beim Apfelbeispiel ist die Funktion $f(x) = 0{,}5 \cdot x$ . Für 3 Äpfel: $f(3) = 0{,}5 \cdot 3 = 1{,}50$ €.

2. Von der Proportionalität zur linearen Funktion

Beim Äpfelkaufen war der Preis direkt proportional zur Anzahl — kein Grundpreis. Aber was, wenn das Taxi einen Grundpreis hat?

Ein Taxi kostet 3 € Grundgebühr plus 1,50 € pro Kilometer. Für $x$ Kilometer zahlst du:

y = 1{,}5 \cdot x + 3

Das ist bereits eine lineare Funktion! Der Zusatz „+ 3" verschiebt den Graphen nach oben — das Taxi kostet schon beim Start etwas.

Merke

Proportionale Funktionen ( $y = mx$ ) sind ein Sonderfall der linearen Funktionen mit $b = 0$ . Ihr Graph geht immer durch den Ursprung.

3. Die Gleichung $y = mx + b$

Jede lineare Funktion lässt sich in der sogenannten Normalform schreiben:

y = mx + b

Die beiden Parameter haben ganz konkrete Bedeutungen:

Steigung $m$

Die Steigung gibt an, wie stark der Graph ansteigt oder fällt. Steigt $x$ um 1, ändert sich $y$ um $m$ .

$m > 0$ : Graph steigt
$m < 0$ : Graph fällt
$m = 0$ : Graph ist waagerecht

y-Achsenabschnitt $b$

Der y-Achsenabschnitt gibt an, wo der Graph die y-Achse schneidet — also den Wert $f(0)$ .

Beim Taxi: $b = 3$ — schon beim Start (0 km) zahlt man 3 €.

4. Graphen zeichnen und lesen

Verändere Steigung und y-Achsenabschnitt mit den Reglern und beobachte, wie sich der Graph verändert.

Aktuelle Funktion:

f(x) = x

Steigung

m

1.0

y-Abschnitt

b

0.0

Tipp: Schiebe $m$ auf einen negativen Wert — der Graph fällt dann von links nach rechts. Bei $b = 0$ geht die Gerade durch den Ursprung (proportional).

5. Steigung berechnen

Du kannst die Steigung $m$ aus zwei verschiedenen Punkten $P_1(x_1 | y_1)$ und $P_2(x_2 | y_2)$ des Graphen berechnen. Dabei müssen die x-Koordinaten verschieden sein: $x_1 \neq x_2$ .

Steigungsformel (Differenzenquotient)

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x}

Gehe von einem Punkt erst waagerecht und dann senkrecht zum anderen. Diese beiden Strecken bilden mit der Verbindungsstrecke ein Steigungsdreieck. $\Delta x$ beschreibt die Änderung in x-Richtung, $\Delta y$ die Änderung in y-Richtung — jeweils mit Vorzeichen.

Beispiel

Gegeben: $P_1(1 | 2)$ und $P_2(4 | 8)$ .

$m = \frac{8 - 2}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$

Der Graph steigt um 2, wenn $x$ um 1 wächst.

6. Funktionsgleichung aufstellen

Wenn du zwei Punkte mit verschiedenen x-Koordinaten kennst, kannst du die vollständige Gleichung $y = mx + b$ bestimmen.

Steigung berechnen: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
b bestimmen: Einen Punkt einsetzen und nach $b$ umformen.
$b = y_1 - m \cdot x_1$
Gleichung aufschreiben: $f(x) = mx + b$

Punkt-Steigungsform

Alternativ kannst du direkt die Punkt-Steigungsform verwenden:

y - y_1 = m \cdot (x - x_1)

Diese Form ist besonders praktisch, wenn du einen Punkt und die Steigung kennst.

Beispiel

Punkte: $A(2 | 5)$ und $B(6 | 13)$ .

1. $m = \frac{13-5}{6-2} = \frac{8}{4} = 2$

2. $b = 5 - 2 \cdot 2 = 5 - 4 = 1$

3. $f(x) = 2x + 1$

7. Nullstellen

Die Nullstelle einer Funktion ist der $x$ -Wert, bei dem $f(x) = 0$ gilt — dort liegt ein Punkt des Graphen auf der x-Achse.

Für $m \neq 0$ gibt es genau eine Nullstelle. Setze $y = 0$ und löse nach $x$ auf:

0 = mx + b \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{b}{m}

Beispiel

Nullstelle von $f(x) = 2x - 4$ :

$0 = 2x - 4 \quad | {+4}$

$4 = 2x \quad | {:2}$

$x = 2$

Der Graph schneidet die x-Achse bei $x = 2$ .

Achtung bei waagerechten Geraden

Für $m = 0$ darfst du nicht durch $m$ teilen. Ist $b \neq 0$ , gibt es keine Nullstelle — zum Beispiel bei $f(x) = 3$ . Ist auch $b = 0$ , gilt $f(x) = 0$ für alle reellen Zahlen: Jede ist eine Nullstelle.

Das Lösen dieser Gleichung ist ein Thema für sich — mehr dazu bei Lineare Gleichungen (demnächst verfügbar).

1. Was ist eine Funktion?

2. Von der Proportionalität zur linearen Funktion

3. Die Gleichung y=mx+by = mx + by=mx+b

4. Graphen zeichnen und lesen

5. Steigung berechnen

6. Funktionsgleichung aufstellen

7. Nullstellen

3. Die Gleichung $y = mx + b$